trapezoidal rule

Salah satu metode integrasi numerik dengan partisi adalah aturan trapesium, yang membagi luas di bawah kurva dengan partisi-partisi berbentuk trapesium untuk menghitung suatu integral tertentu [1]. Aturan ini merupakan salah satu dari aturan-aturan terpenting dalam teori integrasi [2]. Metode ini memerlukan jumlah titik $N \ge 2$.

formulation

Suatu kurva dengan luas di bawahnya dibagi dalam partisi-partisi berbentuk trapesium diberikan pada gambar berikut ini.

Terdapat fungsi $f(x)$ yang diintegralkan mulai dari $x = x_1$ sampai dengan $x = x_5$ menggunakan empat buah partisi atau $N = 4$ sehingga terdapat luas trapesium $A_1$, .., $A_4$ seperti diberikan pada Gambar 1. Untuk satu partisi dapat dituliskan

\begin{equation}\label{eqn:trapezoidal-rule-single-partition} A_i = \left[ f(x_i) + f(x_{i+1}) \right] \frac{\Delta x}{2}, \end{equation}

dengan $\Delta x = x_{i+1} - x_i$, untuk $i = 1, .., N$. Gambar 1 memberikan ilustrasi untuk $N = 4$.

\begin{equation}\label{eqn:trapezoidal-rule} \int_{x_i}^{x_f} f(x) \ dx \approx \sum_{i = 1}^N \left[ f(x_i) + f(x_{i+1}) \right] \frac{\Delta x}{2}, \end{equation}

\begin{equation}\label{eqn:trapezoidal-rule-dx} \Delta x = \frac{x_f - x_i}{N}, \end{equation}

di mana $N$ jumlah partisi, $x_i$ batas bawah integral, dan $x_f$ batas atas integral.

a code

Implementasi Persamaan \eqref{eqn:trapezoidal-rule} dan \eqref{eqn:trapezoidal-rule-dx} dalam bahasa pemrograman Python salah satunya adalah seperti berikut ini

# 0301-trapezoidal.py
# Integration with trapezoidal rule
# Sparisoma Viridi | https://github.com/dudung
# 20220223 Start this example

# define a function
fxs = "3x^2"
def f(x):
  y = 3 * x * x
  return y

# define integral lower and upper bounds
xbeg = 1
xend = 2

# define number of trapezoidal areas
N = 10
dx = (xend - xbeg) / N

# calculate definite integral
total = 0
x = xbeg
for i in range(N):
  area = (f(x) + f(x+dx)) * dx / 2
  total = total + area
  x = x + dx

# display results
print("Trapezoidal rule")
print("f(x) = ", fxs)
print("xbeg = ", xbeg)
print("xend = ", xend)
print("N = ", N)
print("integral = ", total)

==== RESTART: 0301-trapezoidal.py ====
Trapezoidal rule
f(x) =  3x^2
xbeg =  1
xend =  2
N =  10
integral =  7.005000000000004

bila dijalankan. Program di atas dapat pula dijalankan secara daring di OneCompiler 3xu7ggwcf.

trapezoidal rule

formulation

a code

note

comments