lin chrg e field ring axis

Salah satu contoh lain penerapan rapat muatan linier $\lambda$ bersifat seragam adalah pada pada cincin bermuatan $Q$ dengan jari-jari $R$ untuk memperoleh medan listrik $\vec{E}$ di sepanjang sumbu cincin pada jarak $H$ dari pusat. Sebagai sumbu cincin dapat dipilih sumbu $z$ [1] atau sumbu $x$ [2]. Telah terdapat video penurunannya [3] dan juga perhitungan numeriknya menggunakan VPython [4]. Dengan mengananalogikan muatan listrik dengan massa, terdapat titik maksimum nilai medan di sepanjang sumbu cincin [5].

electric field

Medan listrik $\vec{E}_q$ pada posisi $\vec{r}$ akibat elemen muatan $dq$ yang berada pada posisi $\vec{r}_q$ diberikan oleh

$$\begin{equation}\label{eqn:efield-charge-distribution} d\vec{E}_q = k \ \frac{dq}{| \vec{r} - \vec{r}_q |^3} \ (\vec{r} - \vec{r}_q), \end{equation}$$

di mana untuk muatan garis, seperti kawat atau batang bermuatan, digunakan

$$\begin{equation}\label{eqn:line-charge-distribution} dq = \lambda \ dl, \end{equation}$$

dengan $\lambda$ adalah rapat muatan linier. Untuk saat ini dibatasi rapat muatan linier yang bersifat seragam atau bukan fungsi dari posisi $l$, yang dinyatakan dengan $\lambda \ne \lambda(l)$. Dengan demikian berlaku

$$\begin{equation}\label{eqn:line-charge-distribution-uniform} \lambda = \frac{Q}{L} \end{equation}$$

bila $L$ adalah panjang muatan garis dan $Q$ adalah muatan totalnya.

ring of charge

Sebuah cincin berjari-jari $R$ dan bermuatan $+Q$ terletak pada bidang $xy$ seperti diberikan pada Gambar 1. Titik amat $\rm P$ terletak pada sumbu cincin yang berhimpit dengan sumbu $y$ dan berjarak $H$ dari pusat cincin.

Gambar 1. Elemen muatan $dq$ pada muatan cincin dan elemen medan listrik yang disebabkannya.

Dari Gambar 1 dapat diperoleh

$$\begin{equation}\label{eqn:ring-charge-relative-position} \begin{array}{rcl} \vec{r} - \vec{r}_q & = & H \ \hat{z} - (R \cos\theta \ \hat{x} + R \sin\theta \ \hat{y}) \newline | \vec{r} - \vec{r}_q | & = & \sqrt{H^2 + R^2}, \end{array} \end{equation}$$

di mana telah digunakan koordinat silinder dengan

$$\begin{equation}\label{eqn:ring-charge-cylinder-coordinate} \begin{array}{rcl} x & = & r \cos \theta, \newline y & = & r \sin \theta, \newline r & = & x^2 + y^2. \end{array} \end{equation}$$

Untuk cincin elemen panjangnya adalah

$$\begin{equation}\label{eqn:ring-charge-length-element} dl = r \ d\theta. \end{equation}$$

Untuk cincin berlaku bahwa posisi radial berharga tetap $r = R$, yang akan diterapkan pada Persamaan $\eqref{eqn:ring-charge-cylinder-coordinate}$ dan $\eqref{eqn:ring-charge-length-element}$. Selanjutnya adalah menggunakan Persamaan $\eqref{eqn:line-charge-distribution}$, $\eqref{eqn:ring-charge-relative-position}$, dan $\eqref{eqn:ring-charge-length-element}$ dalam Persamaan $\eqref{eqn:efield-charge-distribution}$ sehingga dapat diperoleh

$$\begin{equation}\label{eqn:dE-ring-charge} \begin{array}{rcl} d\vec{E} & = & k \displaystyle \frac{\lambda \ R d\theta}{(H^2 + R^2)^{3/2}} \ [ H \ \hat{z} - (R \cos\theta \ \hat{x} + R \sin\theta \ \hat{y}) ] \newline & = & dE_z \ \hat{z} + dE_x \ \hat{x} + dE_y \ \hat{y}. \end{array} \end{equation}$$

Untuk cincin penuh batas integral $\int d\theta$ memiliki batas bawah $0$ sampai $2\pi$ sehingga

$$\begin{equation}\label{eqn:Ex-ring-charge} \begin{array}{rcl} E_x & = & \int dE_x, \newline & = & \displaystyle -k \frac{\lambda \ R^2}{(H^2 + R^2)^{3/2}} \int \cos\theta \ d\theta \newline & = & \displaystyle -k \frac{\lambda \ R^2}{(H^2 + R^2)^{3/2}} \sin\theta \newline E_x ({\rm P}) & = & \displaystyle -k \frac{\lambda \ R^2}{(H^2 + R^2)^{3/2}} \left[ \sin\theta \right]_0^{2\pi} \newline & = & 0, \end{array} \end{equation}$$

$$\begin{equation}\label{eqn:Ey-ring-charge} \begin{array}{rcl} E_y & = & \int dE_y, \newline & = & \displaystyle -k \frac{\lambda \ R^2}{(H^2 + R^2)^{3/2}} \int \sin\theta \ d\theta \newline & = & \displaystyle k \frac{\lambda \ R^2}{(H^2 + R^2)^{3/2}} \cos\theta \newline E_y ({\rm P}) & = & \displaystyle k \frac{\lambda \ R^2}{(H^2 + R^2)^{3/2}} \left[ \cos\theta \right]_0^{2\pi} \newline & = & 0, \end{array} \end{equation}$$

dan

$$\begin{equation}\label{eqn:Ez-ring-charge} \begin{array}{rcl} E_z & = & \int dE_z, \newline d\vec{E} & = & \displaystyle k \frac{\lambda \ RH}{(H^2 + R^2)^{3/2}} \int d\theta \newline & = & \displaystyle k \frac{\lambda \ RH}{(H^2 + R^2)^{3/2}} \ \theta \newline E_z({\rm P}) & = & \displaystyle k \frac{\lambda \ RH}{(H^2 + R^2)^{3/2}} \left[ \theta \right]_0^{2\pi} \newline & = & \displaystyle k \frac{\lambda \ RH}{(H^2 + R^2)^{3/2}} (2\pi - 0) \newline & = & \displaystyle k \frac{\lambda \ 2\pi R \ H}{(H^2 + R^2)^{3/2}} \newline & = & \displaystyle k \frac{Q \ H}{(H^2 + R^2)^{3/2}} \end{array} \end{equation}$$

Untuk muatan cincin utuh $L = 2\pi L$ sehingga untuk rapat muatan linier seragam diperoleh $Q = 2\pi L \lambda$ seperti diberikan oleh Persamaan $\eqref{eqn:line-charge-distribution-uniform}$, sebagaimana diterapkan pada baris terakhir Persamaan $\eqref{eqn:Ey-ring-charge}$. Dengan demikian diperoleh

$$\begin{equation}\label{eqn:E-ring-charge-axis-solution} \vec{E}({\rm P}) = \hat{z} k \frac{Q \ H}{(H^2 + R^2)^{3/2}}, \end{equation}$$

yang merupakan medan listrik sepanjang sumbu $z$ atau sumbu cincin untuk sistem yang diberikan pada Gambar 1.

at long distance

Bila medan listrik di sepanjang sumbu cincin diamati untuk jarak yang jauh atau tepatnya $H > > R$ maka solusi yang diberikan oleh Persamaan $\eqref{eqn:E-ring-charge-axis-solution}$ akan menjadi

$$\begin{equation}\label{eqn:E-ring-charge-axis-solution-long-distance} \begin{array}{rcl} \vec{E}({\rm P}) & = & \displaystyle \hat{z} k \frac{Q \ H}{(H^2 + R^2)^{3/2}} \newline & = & \displaystyle \hat{z} k \frac{Q}{H^{-1}(H^2 + R^2)^{3/2}} \newline & = & \displaystyle \hat{z} k \frac{Q}{H^{-1}H^3[1 + (R/H)^2]^{3/2}} \newline & \approx & \displaystyle \hat{z} k \frac{Q}{H^2}, \end{array} \end{equation}$$

dengan bentuknya seperti medan listrik yang disebabkan oleh muatan titik. Pendekatan berikut

$$\begin{equation}\label{eqn:E-ring-charge-axis-solution-long-distance-approximation} 1 + (R/H)^2 \approx 1 \end{equation}$$

telah digunakan untuk mendapatkan baris terakhir dari Persamaan $\eqref{eqn:E-ring-charge-axis-solution-long-distance}$.

circular arc

Medan listrik untuk cincin tidak penuh, atau lebih tepatnya berupa busur lingkaran, tidak dapat diperoleh dari Persamaan $\eqref{eqn:E-ring-charge-axis-solution}$ akan tetapi harus menggunakan Persamaan $\eqref{eqn:Ex-ring-charge}$, $\eqref{eqn:Ey-ring-charge}$, dan $\eqref{eqn:Ez-ring-charge}$. Hal ini tidak akan dibahas di sini.

exer

1. Suatu muatan cincin bermuatan $Q$ dengan jejari $B$ berada pada bidang $yz$. Pada jarak $W$ dari pusat cincin dan sepanjang sumbu cincin terdapat titik $\rm P$ tempat medan listriknya $\vec{E}$ ingin diamati. Bagaimanakah bentuk medan listriknya $\vec{E}({\rm P})$?

note

1. Carl R. Nave, “Electric Field: Ring of Charge”, HyperPhysics, 2017, url http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/elelin.html#c2 [20220109].
2. Gerhard Müller, “Electric Field of Charged Ring”, PHY 204: Elementary Physics II, Department of Physics, University of Rhode Island, 13 Nov 2021, url http://www.phys.uri.edu/gerhard/PHY204/tsl34.pdf [20220109].
3. Yildirim Aktas, “Example 2: Electric field of a charged ring along its axis”, PHYS 2102 Physics for Science & Engineering II, Department of Physics & Optical Science, College of Liberal Arts & Sciences, The University of North Carolina at Charlotte, url https://pages.charlotte.edu/phys2102/online-lectures/chapter-02-electric-field/2-4-electric-field-of-charge-distributions/example-2-electric-field-of-a-charged-ring-along-its-axis/ [20220109].
4. Rhett Allain, “Electric Field due to a Uniformly Charged Ring”, Medium, 30 Apr 2020, url https://medium.com/swlh/electric-field-due-to-a-uniformly-charged-ring-6b0adcbf7b8d [20220109].
5. Jeremy Tatum, “Field on the Axis of a Ring”, Celestial Mechanics (Tatum), University of Victoria, 31 Dec 2020, url https://phys.libretexts.org/@go/page/8132 [20220109].

comments

#bug0330

— Sparisoma Viridi (@6unpnp) January 10, 2022

electric charge • electric field • charge distribution