Gambar 1. Tiga fungsi kuadrat yang tidak memiliki akar riil (atas, $\color{#ac5}{\blacktriangle}$), satu akar riil berulang (tengah, $\color{#c55}{\small\blacksquare}$), dan dua akar riil (bawah, $\color{#58c}{\Large\bullet}$).
Persamaan kuadrat atau disebut juga persamaan dengan derajat dua memiliki bentuk $ax^2 + bx + c = 0$ dengan $a$, $b$, $c$ diketahui, $a \ne 0$, dan $x$ merupakan nilai yang ingin dicari [1]. Nilai $x$ dapat diperoleh dengan melengkapi bentuk kuadrat dari persamaan kuadrat [2], sehingga memberikan formula kuadrat [3].
Persamaan kuadrat berbentuk
\begin{equation}\label{eqn:quadratic-equation} ax^2 + bx + c = 0 \end{equation}
dapat dilengkapi bentuk kuadratnya
\[\begin{array}{rcl} ax^2 + bx + c & = & 0 \newline \displaystyle x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} & = & \newline \displaystyle x^2 + \frac{b}{a} x & = & \displaystyle -\frac{c}{a} \newline \displaystyle x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{b^2}{4a^2} & = & \displaystyle -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2} \newline \displaystyle \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 & = & \displaystyle -\frac{4ac}{4a \cdot a} + \frac{b^2}{4a^2} \newline & = & \displaystyle \frac{1}{4a^2} \left( -4ac + b^2 \right) \newline \displaystyle x + \frac{b}{2a} & = & \displaystyle \pm \frac{1}{2a} \sqrt{-4ac + b^2} \newline x & = & \displaystyle - \frac{b}{2a} \pm \frac{1}{2a} \sqrt{-4ac + b^2} \newline & = & \displaystyle - \frac{b}{2a} \pm \frac{1}{2a} \sqrt{-4ac + b^2}, \end{array}\]yang lebih umum dituliskan dalam bentuk
\begin{equation}\label{eqn:quadratic-formula} x_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{equation}
dan dikenal sebagai formula kuadrat.
Formula kuadrat tidak hanya menghasilkan solusi dari persamaan kuadrat tetapi juga memberikan informasi mengenai sifat solusi yang diperoleh, di mana informasi ini tersimpan dalam diskriminan yang memberitahu apakah solusinya berupa bilangan riil atau kompleks dan berapa jumlah solusi dari masihg-masing jenis bilangan untuk diharapkan [4].
Tabel 1 Nilai diskriminan dan artinya.
| Nilai Diskriminan | Catatan | Hasil |
|---|---|---|
| $b^2 - 4ac = 0$ | Satu solusi rasional berulang |
|
| $b^2 - 4ac > 0$ | kuadrat sempurna | Dua solusi rasional |
| $b^2 - 4ac > 0$ | bukan kuadrat sempurna |
Dua solusi irasional |
| $b^2 - 4ac < 0$ | Dua solusi kompleks |
Untuk saat ini akan dibatas dulu pada satu solusi berulang atau dua solusi yang keduanya merupakan bilangan rasional.
Impementasi dari Persamaan \eqref{eqn:quadratic-formula} dan pemanfaatan diskriminan diberikan pada program berikut ini.
# 0401-quadratic-formula.py
# Solve quadratic equation using quadartic formula
# Sparisoma Viridi | https://github.com/dudung/bugx
# 20220124 Create this program.
# import the math module
import math
# create cofficients for quadratic equation
def equation(x1, x2):
a = 1
b = -(x1 + x2)
c = x1 * x2
return [c, b, a]
# calculate discriminant of a quadratic equation
def discriminant(coef):
c = coef[0]
b = coef[1]
a = coef[2]
D = b * b - 4 * a * c;
return D
# calculate roots of a quadratic equation
def root(coef):
b = coef[1]
a = coef[2]
D = discriminant(coef)
if(D >= 0):
x1 = (-b - math.sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b + math.sqrt(D)) / (2*a)
else:
x1 = "not real"
x2 = "not real"
return x1, x2
# define a quadratic equation ax^2 + bx + c with [c, b, a]
quad_eqn = [9, -10, 1]
# create a quadratic equation from (x - x1)(x - x2)
quad_eqn = equation(3, -10)
# calculate discriminant
disc = discriminant(quad_eqn)
# calculate only real roots using quadratic formula
x1, x2 = root(quad_eqn)
# print results
print("equation: ", quad_eqn, sep='')
print("D = ", disc, sep='')
print("x1 = ", x1, sep='')
print("x2 = ", x2, sep='')
Kode di atas dapat dicoba di OneCompiler 3xrazmhzv. Koefisien persamaan kuadrat $a$, $b$, $c$ diungkapkan dalam bentuk larik [c0, c1, c2] yang merepresentasikan persamaan $c_0 + c_1 x + c_2 x^2 = 0$ atau dengan kata lain $c_2 = a$, $c_1 = b$, dan $c_0 = c$. Larik ini akan digunakan oleh fungsi root dan discriminant. Selain itu terdapat pula fungsi equation yang menghasilkan larik tersebut dengan masukannya adalah akar-akar persamaan dari persamaan $(x - x_1)(x - x_2) = 0$.
Tiga buah fungsi kuadrat diberikan pada Gambar 1 untuk dibandingkan keberadaan akar-akarnya secara grafis dengan menggunakan Persamaan \eqref{eqn:quadratic-formula} melalui program 0401-quadratic-formula.py yang diberikan.
Gambar 1. Tiga fungsi kuadrat yang tidak memiliki akar riil (atas, $\color{#ac5}{\blacktriangle}$), satu akar riil berulang (tengah, $\color{#c55}{\small\blacksquare}$), dan dua akar riil (bawah, $\color{#58c}{\Large\bullet}$).
Program 0401-quadratic-formula.py dijalankan dengan hasil
========== RESTART: 0401-quadratic-formula.py ==========
equation: [34, -10, 1]
D = -36
x1 = not real
x2 = not real
>>>
========== RESTART: 0401-quadratic-formula.py ==========
equation: [25, -10, 1]
D = 0
x1 = 5.0
x2 = 5.0
>>>
========== RESTART: 0401-quadratic-formula.py ==========
equation: [16, -10, 1]
D = 36
x1 = 2.0
x2 = 8.0
yang cocok dengan Gambar 1.
0401-quadratic-formula.py bila digunakan larik [9, -10, 10] sebagai masukan koefisien dari fungsi root?equation bila kedua argumennya adalah 3 dan 5?— Sparisoma Viridi (@6unpnp) January 24, 2022