Hubungan antara total fluks listrik yang menembus suatu permukaan tertutup dan muatan yang terlingkupi oleh permukaan tertutup tersebut dideskripsikan dalam hukum Gauss [1]. Hukum Coulomb dapat diturunkan dari hukum Gauss dan sebaliknya pula hukum Gauss dapat diturun dari hukum Coulomb [2]. Untuk menerapkan hukum Gauss pada distribusi muatan sehingga dapat diperoleh medan listriknya, perlu memperhatikan simetri dari distribusi muatan yang kemudian disesuaikan dengan permukaan Gauss yang digunakan [3].
Elemen fluks listrik akibat vektor medan listrik $\vec{E}$ yang menembus elemen luas $d\vec{A}$ adalah
\begin{equation}\label{eqn:electric-flux-element} d\Phi_E = \vec{E} \cdot d\vec{A}, \end{equation}
yang untuk mendapatkan fluks oleh seluruh permukaan perlu dilakukan integrasi
\begin{equation}\label{eqn:electric-flux-integral} \Phi_E = \int \vec{E} \cdot d\vec{A}. \end{equation}
Bila $\vec{E}$ dan element luas $d\vec{A}$ sudutnya selalu tetap dan juga besar $|\vec{E}|$ maka Persamaan \eqref{eqn:electric-flux-integral} akan menjadi
\begin{equation}\label{eqn:electric-flux-integral-constant} \Phi_E = \vec{E} \cdot \int d\vec{A} = \vec{E} \cdot \vec{A}. \end{equation}
Permukaan Gauss merupakan suatu permukaan tertutup sembaang yang bersifat khayal. Sebagai simbolnya terdapat tanda O pada integralnya
\begin{equation}\label{eqn:gaussian-surface} \vec{A}_{\rm Gauss} = \oint d\vec{A}, \end{equation}
yang menggambarkan integral suatu permukaan tertutup. Dengan integral dari Persamaan \eqref{eqn:gaussian-surface} diterapkan pada Persamaan \eqref{eqn:electric-flux-integral} maka akan diperoleh
\begin{equation}\label{eqn:electric-flux-integral-gaussian-surface} \Phi_{E,\rm total} = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A}. \end{equation}
Muatan yang terlingkupi oleh permukaan Gauss adalah
\begin{equation}\label{eqn:enclosed-charge} q_{\rm enc} = \int \rho dV, \end{equation}
dengan $\rho$ adalah rapat muatan volume, di mana volume yang dimaksud adalah volume dalam permukaan Gauss.
Tabel 1. Beberapa permukaan Gauss dan volume yang berada di dalamnya.
| Bentuk | $n$ | Permukaan Gauss | Volume terlingkupi | Gambar [4] |
|---|---|---|---|---|
| Bola | $1$ | $4\pi r^2 \hat{r}$ | $\frac43\pi r^3$ | Fig 6.21 |
| Silinder | $3$ | $\pi r^2 \hat{z}$, $2\pi r h \hat{r}$, $-\pi r^2 \hat{z}$ | $\pi r^2 h$ | Fig 6.27 |
| Kotak | $6$ | $lw\hat{z}$, $wh\hat{x}$, $lh\hat{y}$, $-lw\hat{z}$, $-wh\hat{x}$, $-lh\hat{y}$ |
$lwh$ | Fig 6.32 |
Ketiga bentuk dalam Tabel 1 adalah bentuk permukaan yang digunakan untuk distribusi muatan dengan simetri bola seperti muatan titik dan bola bermuatan, simetri silinder untuk kawat lurus panjang bermuatan seragam dan silinder panjang bermuatan seragam, dan simetri planar untuk pelat luas bermuatan seragam.
Hukum Gauss menghubungkan antara Persamaan \eqref{eqn:electric-flux-integral-gaussian-surface} dengan muatan yang terlingkupi oleh permukaan Gauss pada Persamaan \eqref{eqn:enclosed-charge} dengan bantuan permitivitas ruang $\epsilon_0$ dalam bentuk
\begin{equation}\label{eqn:gauss-law-1} \Phi_{E,\rm total} = \frac{q_{\rm enc}}{\varepsilon_0}, \end{equation}
yang merupakan hukum Gauss dan lebih sering dituliskan dalam bentuk
\begin{equation}\label{eqn:gauss-law-2} \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q_{\rm enc}}{\varepsilon_0}. \end{equation}
Hukum Gauss dapat digunakan untuk menghitung medan listrik dengan terlebih dahulu mengetahui simetri medan listrik yang disebabkan oleh distribusi muatan sehingga dapat menuliskan
\begin{equation}\label{eqn:electric-field-symmetry} \vec{E} = E \ \hat{n}_1 \end{equation}
dan kemudian memilih elemen permukaan Gauss yang tepat
\begin{equation}\label{eqn:gaussian-surface-symmetry} d\vec{A} = \hat{n}_2 \ dA \end{equation}
sehingga Persamaan \eqref{eqn:gauss-law-2} mudah dihitung, yang dalam hal ini dapat berarti $\hat{n}_1 \cdot \hat{n}_2$ bernilai nol atau satu.
Sebuah titik muatan $q$ yang terletak di pusat koordinat memiliki medan listrik yang dapaat dituliskan dalam bentuk
\begin{equation}\label{eqn:point-charge-electric-field-symmetry} \vec{E} = E \ \hat{r}, \end{equation}
yang menunjukkan simetri bola dengan bentuk fungsi $E$ dianggap belum diketahui. Kemudian untuk simetri bola akan dipilih bentuk elemen permukaan
\begin{equation}\label{eqn:spherical-symmetry-surface-element} d\vec{A} = \hat{r} \ dA = \hat{r} \ (rd\theta)(r\sin\theta d\phi), \end{equation}
dengan batas integral untuk $\theta$ adalah dari $0$ sampai $\pi$ dan untuk $\phi$ dari $0$ sampai $2\pi$ agar membentuk dapat membentuk suatu permukaan Gauss. Lalu muatan yang terlingkupi oleh selubung bola dengan jari-jari $r$ adalah
\begin{equation}\label{eqn:point-charge-enclosed-charge} q_{\rm enc} = q. \end{equation}
Substitusi Persamaan \eqref{eqn:point-charge-electric-field-symmetry}, \eqref{eqn:spherical-symmetry-surface-element}, dan \eqref{eqn:point-charge-enclosed-charge} ke Persamaan \eqref{eqn:gauss-law-2} akan memberikan
\begin{equation}\label{eqn:gauss-law-point-charge} \begin{array}{rcl} \displaystyle \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} & = & \displaystyle \frac{q_{\rm enc}}{\varepsilon_0} \newline \displaystyle \oint E \ \hat{r} \cdot \hat{r} \ (rd\theta)(r\sin\theta d\phi) & = & \displaystyle \frac{q}{\varepsilon_0} \newline \displaystyle \oint E \ (\hat{r} \cdot \hat{r}) \ r^2 \ \sin\theta d\theta \ d\phi & = & \newline \displaystyle \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} E \ r^2 \ \sin\theta d\theta \ d\phi & = & \newline \displaystyle E \ r^2 \int_0^{\pi} \sin\theta d\theta \int_0^{2\pi} d\phi & = & \newline \displaystyle E \ r^2 \ \ \ [ -\cos\theta ]_0^{\pi} \ \ \ [ \phi ]_0^{2\pi} & = & \newline \displaystyle E \ r^2 \ \ \ ( -\cos 2\pi + \cos 0 ) \ \ \ ( 2\pi - 0 ) & = & \newline \displaystyle E \ r^2 \ ( 1 + 1 ) \ ( 2\pi ) & = & \newline E \ r^2 \ 4\pi & = & \newline E & = & \displaystyle \frac{1}{4\pi \ r^2} \ \frac{q}{\varepsilon_0} \newline & = & \displaystyle \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \ \frac{q}{r^2} \newline & = & \displaystyle k \frac{q}{r^2}, \end{array} \end{equation}
yang merupakan besar medan listrik satu titik muatan menurut hukum Coulomb. Substitusi kembali hasil ini ke Persamaan \eqref{eqn:point-charge-electric-field-symmetry} akan memberikan rumusan vektornya.
Sebuah muatan garis amat panjang berapat muatan seragam $\lambda$ yang terletak di sepanjang sumbu $z$ akan memberikan medan listrik di sekelilingnya pada jarak $r$ dalam bentuk
\begin{equation}\label{eqn:long-line-charge-electric-field-symmetry} \vec{E} = E \ \hat{r}, \end{equation}
yang menunjukkan simetri silinder dengan bentuk fungsi $E$ dianggap belum diketahui. Kemudian untuk simetri silinder akan dipilih bentuk elemen permukaan untuk selubung silinder
\begin{equation}\label{eqn:cylindrical-symmetry-surface-element-1} d\vec{A}_1 = \hat{r} \ dA_1 = \hat{r} \ (dz)(rd\theta), \end{equation}
dan tutup atas serta bawahnya
\begin{equation}\label{eqn:cylindrical-symmetry-surface-element-2} d\vec{A}_2 = \hat{z} \ dA_2 = \hat{z} \ (dr)(rd\theta), \end{equation}
\begin{equation}\label{eqn:cylindrical-symmetry-surface-element-3} d\vec{A}_3 = -\hat{z} \ dA_3 = -\hat{z} \ (dr)(rd\theta), \end{equation}
dengan batas integral untuk $\theta$ adalah dari $0$ sampai $2\pi$, untuk $z$ dari $-\frac12 L$ sampai $\frac12 L$, dan untuk $r$ dari $0$ sampai $r$. Lalu muatan yang terlingkupi oleh permukaan silinder dengan jari-jari $r$ dan tinggi $L$ adalah
\begin{equation}\label{eqn:long-line-charge-enclosed-charge} q_{\rm enc} = q = \lambda L. \end{equation}
Substitusi Persaamaan \eqref{eqn:long-line-charge-electric-field-symmetry}, \eqref{eqn:cylindrical-symmetry-surface-element-1}, \eqref{eqn:cylindrical-symmetry-surface-element-2}, \eqref{eqn:cylindrical-symmetry-surface-element-3}, dan \eqref{eqn:long-line-charge-enclosed-charge} ke Persamaan \eqref{eqn:gauss-law-2} akan menghasilkan
\begin{equation}\label{eqn:gauss-law-long-line-charge} \begin{array}{rcl} \displaystyle \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} & = & \displaystyle \frac{q_{\rm enc}}{\varepsilon_0} \newline \displaystyle \int E \ \hat{r} \cdot \hat{r} \ (dz)(rd\theta) & + & \newline \displaystyle \int E \ \hat{r} \cdot \hat{z} \ (dr)(rd\theta) & + & \newline \displaystyle \int E \ \hat{r} \cdot -\hat{z} \ (dr)(rd\theta) & = & \displaystyle \frac{\lambda L}{\varepsilon_0} \newline \displaystyle \int E \ r \ dz d\theta + 0 + 0 & = & \newline \displaystyle \int_{-\frac12 L}^{\frac12 L} \int_0^{2\pi} E \ r \ dz d\theta & = & \newline \displaystyle E \ r \int_{-\frac12 L}^{\frac12 L} dz \int_0^{2\pi} d\theta & = & \newline \displaystyle E \ r \ [ z ]_{-\frac12 L}^{\frac12 L} \ \ [ \theta ]_0^{2\pi} & = & \newline E \ r \ [\tfrac12 L - (-\tfrac12 L)] \ (2\pi - 0) & = & \newline E \ r \ L \ 2\pi & = & \newline E & = & \displaystyle \frac{1}{2\pi \ r \ L} \ \frac{\lambda L}{\varepsilon_0} \newline & = & \displaystyle \frac{1}{2\pi\varepsilon_0} \ \frac{\lambda}{r} \newline & = & \displaystyle \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \ \frac{2\lambda}{r} \newline & = & \displaystyle k \frac{2\lambda}{r}, \end{array} \end{equation}
yang merupakan besar medan listrik di sekitar kawat lurus berapat muatan seragam $\lambda$. Substitusi hasil ini ke Persaamaan \eqref{eqn:long-line-charge-electric-field-symmetry} akan memberikan bentuk vektornya.
Suatu pelat luas berapat muatan seragam $\sigma$ yang terletak pada bidang $z = 0$ akan memiliki medan listrik berbentuk
\begin{equation}\label{eqn:large-charged-plate-electric-field-symmetry} \vec{E} = \left\{ \begin{array}{cc} E \ \hat{z}, & z > 0, \newline -E \ \hat{z}, & z < 0, \end{array} \right. \end{equation}
yang menunjukkan simetri planar dengan bentuk fungsi $E$ dianggap belum diketahui. Kemudian untuk simetri planar akan dipilih bentuk elemen permukaan berbentuk kotak
\begin{equation}\label{eqn:planar-symmetry-surface-element-1} d\vec{A}_1 = \hat{z} \ dA_1 = \hat{z} \ (dx)(dy), \end{equation}
\begin{equation}\label{eqn:planar-symmetry-surface-element-2} d\vec{A}_2 = -\hat{z} \ dA_2 = -\hat{z} \ (dx)(dy), \end{equation}
\begin{equation}\label{eqn:planar-symmetry-surface-element-3} d\vec{A}_3 = \hat{x} \ dA_3 = \hat{x} \ (dy)(dz), \end{equation}
\begin{equation}\label{eqn:planar-symmetry-surface-element-4} d\vec{A}_4 = -\hat{x} \ dA_4 = -\hat{x} \ (dy)(dz), \end{equation}
\begin{equation}\label{eqn:planar-symmetry-surface-element-5} d\vec{A}_5 = \hat{y} \ dA_5 = \hat{y} \ (dz)(dx), \end{equation}
\begin{equation}\label{eqn:planar-symmetry-surface-element-6} d\vec{A}_6 = -\hat{y} \ dA_6 = -\hat{y} \ (dz)(dx), \end{equation}
dengan batas integral untuk $x$ adalah dari $-L/2$ sampai $L/2$, $y$ adalah dari $-W/2$ sampai $W/2$, dan $z$ adalah dari $-H/2$ sampai $H/2$. Perhatikan bahwa pusat koordinat terletak di tengah-tengah pelat luas bermuatan seragam ini. Lalu muatan yang terlingkupi oleh permukaan kotak dengan panjang $L$, lebar $W$, dan tinggi $H$ adalah
\begin{equation}\label{eqn:large-charged-plate-enclosed-charge} q_{\rm enc} = q = \sigma LW. \end{equation}
Substitusi Persaamaan \eqref{eqn:large-charged-plate-electric-field-symmetry}, \eqref{eqn:planar-symmetry-surface-element-1}, \eqref{eqn:planar-symmetry-surface-element-2}, \eqref{eqn:planar-symmetry-surface-element-3}, \eqref{eqn:planar-symmetry-surface-element-4}, \eqref{eqn:planar-symmetry-surface-element-5}, \eqref{eqn:planar-symmetry-surface-element-6}, dan \eqref{eqn:large-charged-plate-enclosed-charge} ke Persamaan \eqref{eqn:gauss-law-2} akan mendapatkan
\begin{equation}\label{eqn:gauss-law-large-charged-plate} \begin{array}{rcl} \displaystyle \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} & = & \displaystyle \frac{q_{\rm enc}}{\varepsilon_0} \newline \int E \ \hat{z} \cdot \hat{z} \ (dx)(dy) & + & \newline \int -E \ \hat{z} \cdot -\hat{z} \ (dx)(dy) & + & \newline 0 + 0 + 0 + 0 & = & \displaystyle \frac{\sigma LW}{\varepsilon_0} \newline 2\int E \ dx \ dy & = & \newline \displaystyle2E \int_{-L/2}^{L/2} \int_{-W/2}^{W/2} \ dx \ dy & = & \newline \displaystyle2E \int_{-L/2}^{L/2} dx \int_{-W/2}^{W/2} dy & = & \newline 2E \ [x] _{-L/2}^{L/2} \ \ \ [y] _{-W/2}^{W/2} & = & \newline 2E (L/2 + L/2) (W/2 + W/2) & = & \newline 2E \ L \ W & = & \newline E & = & \displaystyle \frac{1}{2LW} \ \frac{\sigma LW}{\varepsilon_0} \newline & = & \displaystyle \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}, \end{array} \end{equation}
yang merupakan besar medan listrik di sekitar kawat pelat luas berapat muatan seragam $\sigma$. Substitusi hasil ini ke Persaamaan \eqref{eqn:large-charged-plate-electric-field-symmetry} akan memberikan bentuk vektornya.
— Sparisoma Viridi (@6unpnp) January 26, 2022