gauss's law point charge

Hukum Gauss dapat digunakan untuk memperoleh medan listrik oleh satu titik muatan ataupun distribusi muatan, yang dalam penerapannya perlu memilih permukaan Gauss yang bersesuaian simetrinya sehingga integrasi dapat dilakukan [1], setidaknya dengan mudah.

system

Sebuah muatan titik $q$ yang terletak di origin akan memberikan medan listrik pada setiap titik di sekitarnya dalam bentuk

\begin{equation}\label{eqn:electric-field-form} \vec{E} = E(r) \ \hat{r} \end{equation}

yang menggambarkan simetri bola.

Gambar 1. Muatan titik dengan permukaan Gaussnya.

Agar pemanfaatan hukum Gauss dapat mudah dilakukan dipilih bentuk permukaan berbentuk bola seperti diberikan pada Gambar 1, yang memiliki bentuk

\begin{equation}\label{eqn:gaussian-surface} \begin{array}{rcl} \displaystyle \oint d\vec{A} & = & \displaystyle \oint \hat{r} \ dA \newline & = & \displaystyle \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \hat{r} \ (r d\theta) (r \sin\theta d\phi) \newline & = & \displaystyle \hat{r} \ r^2 \int_0^\pi \sin\theta d\theta \int_0^{2\pi} d\phi \newline & = & \hat{r} \ 4\pi r^2. \end{array} \end{equation}

Dengan bentuk permukaan ini akan diperoleh

\begin{equation}\label{eqn:enclosed-charge} q_{\rm enc} = q, \end{equation}

sebagai muatan yang terlingkupi oleh permukaan Gaussnya seperti diilusrasikan pada Gambar 1.

electric field

Dengan menggunakan hukum Gauss dan Persamaan \eqref{eqn:electric-field-form}, \eqref{eqn:gaussian-surface}, dan \eqref{eqn:enclosed-charge} dapat diperoleh

\begin{equation}\label{eqn:gauss-law-point-charge} \begin{array}{rcl} \displaystyle \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} & = & \displaystyle \frac{q_{\rm enc}}{\varepsilon_0} \newline \displaystyle \oint E(r) \ \hat{r} \cdot \hat{r} \ dA & = & \newline \displaystyle \oint E(r) dA & = & \newline \displaystyle \oint E(r) (r d\theta) (r \sin\theta d\phi) & = & \newline \displaystyle E(r) \ r^2 \oint \sin\theta d\theta d\phi & = & \newline \displaystyle E(r) \ r^2 \int_0^\pi \sin\theta d\theta \int_0^{2\pi} d\phi & = & \newline E(r) \ r^2 \ (2) \ (2\pi) & = & \newline E(r) & = & \displaystyle \frac{1}{4\pi r^2} \frac{q_{\rm enc}}{\varepsilon_0} \newline & = & \displaystyle \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2}, \end{array} \end{equation}

yang merupakan medan listrik akibat muatan titik yang terletak di origin atau pusat koordinat. Persamaan \eqref{eqn:gauss-law-point-charge} ini berlaku untuk $r > 0$.

Gambar 2. Medan listri $E$ sebagai fungsi jarak $r$ dari pusat koordinat akibat satu muatan titik.

Grafik $E(r)$ yang diperoleh dari Persamaan \eqref{eqn:gauss-law-point-charge} diberikan pada Gambar 2, yang merupakan fungsi $E \propto 1/r^2$.

exer

1. Apakah Persamaan \eqref{eqn:gauss-law-point-charge} juga berlaku untuk $q < 0$?
2. Gambar 2 adalah untuk $q > 0$, bagaimana grafik untuk $q < 0$?

note

1. Milica Marković, “Calculation of electric field using Gauss’s Law”, Electromagnetics, Ximera, The Ohio State University, 2022, url https://ximera.osu.edu/electromagnetics/electromagnetics/electrostatics/digInGaussLaw [20220130].

comments

#bug0431

— Sparisoma Viridi (@6unpnp) January 30, 2022