Pemilihan permukaan Gauss yang bersesuaian dengan simetri medan listrik yang disebabkan oleh distribusi muatan akan membuat integrasinya dapat dilakukan untuk memperoleh medan listriknya [1].
Sebuah bola pejal bermuatan total Q dengan rapat muatan seragam yang terletak di origin akan memberikan medan listrik pada setiap titik di sekitarnya dalam bentuk
→E=E(r) ˆr
yang menggambarkan simetri bola. Untuk bola pejal berbahan isolator permukaan Gauss dan muatan yang terlingkupinya untuk kedua rentang jarak dari origin r diberikan pada gambar berikut.
Gambar 1. Bola pejal bermuatan seragam dengan permukaan Gaussnya.
Permukaan Gauss yang dipilih berbentuk
∮d→A=∮ˆr dA=∫π0∫2π0ˆr (rdθ)(rsinθdϕ)=ˆr r2∫π0sinθdθ∫2π0dϕ=ˆr 4πr2.
Muatan yang terlingkupi untuk kasus silinder pejal berbahan isolator yang berapat muatan seragam terbagi menjadi dua bagian, yaitu
qenc={Qr3R3,0≤r≤R,Q,R≤0,
seperti diilusrasikan pada Gambar 1. Persamaan (3) berlaku untuk ρ bernilai tetap atau rapat muatan seragam atau ρ≠ρ(r). Dengan demikian saat menggunakan hukum Gauss dengan menerapkan Persamaan (1), (2), dan (3) perlu dibagi dalam rentang 0≤r≤R dan R≤r. Untuk rentang 0≤r≤R
∮→E⋅d→A=qencε0∮E(r) ˆr⋅ˆr dA=∮E(r)dA=∮E(r)(rdθ)(rsinθdϕ)=E(r) r2∮sinθdθdϕ=E(r) r2∫π0sinθdθ∫2π0dϕ=E(r) r2 (2) (2π)=E(r)=14πr2(Qr3/R3)ε0=14πε0 QR2 rR,
dan untuk R≤r hanya berbeda di tiga baris terakhir
∮→E⋅d→A=qencε0E(r) r2 (2) (2π)=qencε0E(r)=14πr2Qε0=14πε0 Qr2.
Dengan menggunakan hasil dari Persamaan (4) dan (5) dapat digabungkan menjadi
E(r)={14πε0 QR2 rR,0≤r≤R,14πε0 Qr2,R≤r,
yang merupakan medan listrik akibat sebuah bola pejal berbahan konduktor dengan muatan seragam ρ=Q/V.
Gambar 2. Medan listrik E sebagai fungsi jarak r dari pusat origin untuk bola pejal yang terbuat dari isolator bermuatan seragam.
Ilustrasi grafik medan listrik E sebagai fungsi jarak dari origin r diberikan pada Gambar 1 dengan E1=(1/4πε0)(Q/R2)(r/R) yang merupakan suku pada Persamaan (6) untuk bagian dalam bola pejal.
— Sparisoma Viridi (@6unpnp) January 30, 2022