Processing math: 100%

gauss's law solid sphere

30 Jan 2022 • viridi | history

Pemilihan permukaan Gauss yang bersesuaian dengan simetri medan listrik yang disebabkan oleh distribusi muatan akan membuat integrasinya dapat dilakukan untuk memperoleh medan listriknya [1].

system

Sebuah bola pejal bermuatan total Q dengan rapat muatan seragam yang terletak di origin akan memberikan medan listrik pada setiap titik di sekitarnya dalam bentuk

E=E(r) ˆr

yang menggambarkan simetri bola. Untuk bola pejal berbahan isolator permukaan Gauss dan muatan yang terlingkupinya untuk kedua rentang jarak dari origin r diberikan pada gambar berikut.


Gambar 1. Bola pejal bermuatan seragam dengan permukaan Gaussnya.

Permukaan Gauss yang dipilih berbentuk

dA=ˆr dA=π02π0ˆr (rdθ)(rsinθdϕ)=ˆr r2π0sinθdθ2π0dϕ=ˆr 4πr2.

Muatan yang terlingkupi untuk kasus silinder pejal berbahan isolator yang berapat muatan seragam terbagi menjadi dua bagian, yaitu

qenc={Qr3R3,0rR,Q,R0,

seperti diilusrasikan pada Gambar 1. Persamaan (3) berlaku untuk ρ bernilai tetap atau rapat muatan seragam atau ρρ(r). Dengan demikian saat menggunakan hukum Gauss dengan menerapkan Persamaan (1), (2), dan (3) perlu dibagi dalam rentang 0rR dan Rr. Untuk rentang 0rR

EdA=qencε0E(r) ˆrˆr dA=E(r)dA=E(r)(rdθ)(rsinθdϕ)=E(r) r2sinθdθdϕ=E(r) r2π0sinθdθ2π0dϕ=E(r) r2 (2) (2π)=E(r)=14πr2(Qr3/R3)ε0=14πε0 QR2 rR,

dan untuk Rr hanya berbeda di tiga baris terakhir

EdA=qencε0E(r) r2 (2) (2π)=qencε0E(r)=14πr2Qε0=14πε0 Qr2.

Dengan menggunakan hasil dari Persamaan (4) dan (5) dapat digabungkan menjadi

E(r)={14πε0 QR2 rR,0rR,14πε0 Qr2,Rr,

yang merupakan medan listrik akibat sebuah bola pejal berbahan konduktor dengan muatan seragam ρ=Q/V.


Gambar 2. Medan listrik E sebagai fungsi jarak r dari pusat origin untuk bola pejal yang terbuat dari isolator bermuatan seragam.

Ilustrasi grafik medan listrik E sebagai fungsi jarak dari origin r diberikan pada Gambar 1 dengan E1=(1/4πε0)(Q/R2)(r/R) yang merupakan suku pada Persamaan (6) untuk bagian dalam bola pejal.

exer

  1. Bagaimana nilai fungsi medan listrik pada jarak r=R menurut Persamaan (6) untuk bagian dalam dan bagian luarnya? Apakah nilainya kontinu pada dinding bola?

note

  1. Milica Marković, “Calculation of electric field using Gauss’s Law”, Electromagnetics, Ximera, The Ohio State University, 2022, url https://ximera.osu.edu/electromagnetics/electromagnetics/electrostatics/digInGaussLaw [20220130].

comments

#bug0432

— Sparisoma Viridi (@6unpnp) January 30, 2022

 

1) bernilai sama, ya kontinu;