Gambar 1. Bola berongga bermuatan seragam dan muatan titik di tengah rongga dengan permukaan Gaussnya.
Dengan memilih permukaan Gauss yang sesuai dengan simetri yang dimiliki oleh medan listrik akibat suatu distribusi muatan, integral pada hukum Gauss dapat diselesaikan untuk memperoleh rumusan medan listriknya [1].
Bola pejal berongga berbahan konduktor yang berapat muatan seragam dapat diperoleh rumusan medan listriknya pada setiap jarak $r$ dari titik origin yang berhimpit dengan pusat bola. Sistem ini dapat dibuat lebih rumit dengan menempatkan sebuah muatan titik di tengah-tengah rongga bola pejal tersebut, dengan sitemnya diberikan pada gambar berikut.
Gambar 1. Bola berongga bermuatan seragam dan muatan titik di tengah rongga dengan permukaan Gaussnya.
Secara umum bentuk fungsi medan listrik $E = E(r)$ merupakan superposisi dari medan listrik oleh satu titik muatan dan oleh bola pejal berongga berapat muatan seragam.
Medan listrik oleh satu titik muatan diberikan oleh
\begin{equation}\label{eqn:gauss-law-point-charge} E_1(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2}, \end{equation}
dan medan listrik oleh bola pejal berongga berapat muatan seragam diberikan oleh
\begin{equation}\label{eqn:gauss-law-hollow-sphere} E_2(r) = \left\{ \begin{array}{cc} 0, & 0 < r \le R_1, \newline \displaystyle \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{r^3 - R_1^3}{R_2^3 - R_1^3} \right) \frac{Q}{r^2}, & R_1 \le r \le R_2, \newline \displaystyle \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \ \frac{Q}{r^2}, & r \le R_2. \end{array} \right. \end{equation}
Sistem yang berupa bola berongga pejal isolator dengan satu titik muatan di tengah-tengah rongganya dapat diperoleh dengan menghitung superposisi kedua medan listrik dari Persamaan \eqref{eqn:gauss-law-point-charge} dan \eqref{eqn:gauss-law-hollow-sphere} yang akan memberikan
\begin{equation}\label{eqn:gauss-law-hollow-sphere-point-charge} E_2(r) = \left\{ \begin{array}{cc} \displaystyle \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2}, & 0 < r \le R_1, \newline \displaystyle \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{r^3 - R_1^3}{R_2^3 - R_1^3} \right) \frac{Q}{r^2}, & R_1 \le r \le R_2, \newline \displaystyle \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \ \frac{Q}{r^2}, & r \le R_2. \end{array} \right. \end{equation}
Selain dengan menggunakan cara superposisi ini, medan listrik dapat pula diperoleh dengan menggunakan hukum Gauss, yang akan memberikan hasil yang sama.
Gambar 2. Medan listrik $E$ sebagai fungsi jarak $r$ dari pusat origin untuk bola pejal berongga yang terbuat dari isolator bermuatan seragam dengan muatan total $Q$ dan muatan titik $q$ di tengah rongga.
Ilustrasi grafik medan listrik $E$ sebagai fungsi jarak dari origin $r$ diberikan pada Gambar 2 dengan $Q = 1 \ {\rm nC}$, $q = 5 \ {\rm pC}$, $R_1 = 1 \ {\rm \mu m}$, dan $R_2 = 2 \ {\rm \mu m}$.
— Sparisoma Viridi (@6unpnp) January 30, 2022