Terdapat banyak persamaan diferensial order pertama yang tidak linier, separabel, dan eksak, yang bahkan bila masih separabel dan eksak pun tidak selalu dapat diselesaikan untuk mendapatkan suatu solusi eksplisit, di mana tanpa solusi eksplisit akan amat sulit mencari informasi mengenai solusinya [1]. Metode Euler merupakan salah satu solusi untuk permasalahan ini, yang dapat memecahkan persamaan diferensial biasa bila diberikan suatu kondisi atau syarat awal, di mana metode ini menganalisa persamaan diferensial dengan memanfaatkan ide linearitas lokal atau pendekatan linier [2]. Metode ini diperkenalkan dalam penyelesaian persamaan diferensial biasa order pertama secara numerik karena secara umum sederhana [3] dan memiliki berbagai keterbatasan [4].
Sebuah persamaan diferensial order pertama atau FODE (first order differential equation) berbentuk
\begin{equation}\label{eqn:fode} \frac{dy}{dx} = g(x, y) \end{equation}
ingin dicari solusinya $y = y(x)$. Bila diketahui suatu syarat awal $(x_k, y_k)$ dengan nilai $\Delta x$ yang kecil dan
\begin{equation}\label{eqn:y=f(x)} y_k = y(x_k), \ \ \ \ y_{k+1} = y(x_{k+1}), \end{equation}
dapat didekati bahwa
\begin{equation}\label{eqn:euler} y_{k+1} = y_k + (x_{k+1} - x_k) g(x_k, y_k), \end{equation}
dari pendekatan dari Persamaan \eqref{eqn:fode} berbentuk
\begin{equation}\label{eqn:gradient} \frac{dy}{dx} \approx \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_{k+1} - y_k}{x_{k+1} - x_k}, \end{equation}
yang merupakan gradien solusi yang dingin dicari.
Dengan sumbstitusi Persamaan \eqref{eqn:gradient} ke Persamaan \eqref{eqn:euler} akan diperoleh
\begin{equation}\label{eqn:euler-method} y_{k+1} = y_k + (x_{k+1} - x_k) \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x = x_k} \end{equation}
yang merupakan metode Euler. Atau dapat pula dituliskan dalam bentuk
\begin{equation}\label{eqn:euler-method-as-function} f(x + \Delta x) = f(x) + \Delta x \frac{df(x)}{dx}, \end{equation}
di mana $f(x)$ merupakan fungsi dari satu variabel bebas $x$. Terkait dengan Persaman \eqref{eqn:fode}, $g(x) = f’(x)$ dan $y = f(x)$.
Beberapa persamaan diferensial orde pertama diberikan sebagai ilustrasi.
Suatu benda yang berbgerak dengan percepatan $a(t)$ akan memiliki persamaan diferensial
\begin{equation}\label{eqn:velo-from-acce} \frac{dv}{dt} = a(t) \end{equation}
untuk memperoleh rumusan kecepatannya, sehingga dapat diperoleh
\begin{equation}\label{eqn:velo-from-acce-euler} v(t + \Delta t) = v(t) + a(t) \Delta t, \end{equation}
dengan metode Euler. Syarat awalnya adalah $v_0 = v(t_0)$.
Suatu benda yang berbgerak dengan kecepatan $v(t)$ akan memiliki persamaan diferensial
\begin{equation}\label{eqn:post-from-velo} \frac{dx}{dt} = v(t) \end{equation}
untuk memperoleh rumusan posisinya, sehingga dapat diperoleh
\begin{equation}\label{eqn:post-from-velo-euler} x(t + \Delta t) = x(t) + v(t) \Delta t, \end{equation}
dengan metode Euler. Syarat awalnya adalah $x_0 = x(t_0)$.
Dua contoh sebelumnya dapat digabungkan sehingga seakan-akan memecahkan persamaan diferensial orde kedua, yang dipisahkan masing-masing menjadi dua persamaan orde pertama, yaitu
\begin{equation}\label{eqn:post-from-acc-two-fode} \begin{array}{c} v(t + \Delta t) = v(t) + a(t) \Delta t, \newline x(t + \Delta t) = x(t) + v(t) \Delta t, \end{array} \end{equation}
dengan metode Euler. Syarat awalnya adalah $v_0 = v(t_0)$ dan $x_0 = x(t_0)$.
Bila terdapat gerak dalam dua-dimensi, Persamaan \eqref{eqn:post-from-acc-two-fode} tetap dapat dimanfaatkan dengan menggunakan notasi vektor
\begin{equation}\label{eqn:post-from-acc-two-fode-vector} \begin{array}{c} \vec{v}(t + \Delta t) = \vec{v}(t) + \vec{a}(t) \Delta t, \newline \vec{r}(t + \Delta t) = \vec{r}(t) + \vec{v}(t) \Delta t, \end{array} \end{equation}
di mana $\vec{r} = x(t)\hat{x} + y(t)\hat{y}$ dan $\vec{v} = v_x(t)\hat{x} + v_y(t)\hat{y}$.
Sebagai contoh sistem fisis dari persamaan-persamaan yang telah diberikan disajikan gerak parabola dengan gerak partikel bermuatan pada medan magnetik yang selalu tegak lurus arah geraknya.
Gerak parabola memiliki solusi numerik
\begin{equation}\label{eqn:fode-euler-parabolic-motion} \begin{array}{c} \vec{a} = -g\hat{y}, \newline \vec{v}(t + \Delta t) = \vec{v}(t) + \vec{a}(t) \Delta t, \newline \vec{r}(t + \Delta t) = \vec{r}(t) + \vec{v}(t) \Delta t, \end{array} \end{equation}
dengan metode Euler untuk persamaan FODE. Syarat awalnya adalah $\vec{v}(t_0) = v_x(t_0) \hat{x} + v_y(t_0) \hat{y}$ dan $\vec{r}(t_0) = x(t_0) \hat{x} + y(t_0) \hat{y}$. Selain itu terdapat pula syarat dari lingkungannya $\vec{g} = -g\hat{y}$.
Gerak partikel bermuatan dalam medan magnetik tegak lurus arah kecepatan memiliki solusi numerik
\begin{equation}\label{eqn:fode-mov-chrg-perp-mag-field-motion} \begin{array}{c} \vec{a} = q v_y(t) B_z \hat{x} - q v_x(t) B_z \hat{y} , \newline \vec{v}(t + \Delta t) = \vec{v}(t) + \vec{a}(t) \Delta t, \newline \vec{r}(t + \Delta t) = \vec{r}(t) + \vec{v}(t) \Delta t, \end{array} \end{equation}
dengan metode Euler untuk persamaan FODE. Syarat awalnya adalah $\vec{v}(t_0) = v_x(t_0) \hat{x} + v_y(t_0) \hat{y}$ dan $\vec{r}(t_0) = x(t_0) \hat{x} + y(t_0) \hat{y}$. Selain itu terdapat pula syarat dari lingkungannya $\vec{B} = B_z \hat{z}$.
— Sparisoma Viridi (@6unpnp) March 15, 2022