Pendekatan beda hingga untuk turunan merupakan satu metode tersederhana dan tertua untuk menyelsaikan persamaan diferensial [1]. Secara umum sulit untuk menyelesaikan persamaan diferensial dengan syarat batas pada sepanjang tepi domain dan amat langka formula analitiknya dapat diperoleh sebagai solusi, di sini metode beda hingga berperan dengan menggantikan turunan pada persamaan diferensial dengan aproksimasi beda hingga, yang menghasilkan sejumlah besar sistem persamaan aljabar untuk dipecahkan, sebagai ganti menyelesaikan persamaan diferensial semula, yang dapat dengan mudah diselesaikan pada suatu komputer [2].
Suatu fungsi dapat dinyatakan dengan deret Taylor
\begin{equation}\label{eqn:taylor-series} \begin{array}{c} f(x) = f(x_0) + f’(x_0) (x - x_0) \newline + f{'’}(x_0) \tfrac12 (x - x_0)^2 \newline + f{''’}(x_0) \tfrac16 (x - x_0)^3 \newline + f^{iv}(x_0) \tfrac{1}{24} (x - x_0)^4 \end{array} \end{equation}
bila dituliskan sampai lima suku pertama. Selanjutnya dengan $\Delta x = x - x_0 \equiv h$ dan $x = x_0 + h$ Persamaan \eqref{eqn:taylor-series} dapat dituliskan kembali menjadi
\begin{equation}\label{eqn:taylor-series-pos-h} \begin{array}{c} f(x_0 + h) = f(x_0) + f’(x_0) h \newline + f{'’}(x_0) \tfrac12 h^2 + f{''’}(x_0) \tfrac16 h^3 \newline + f^{iv}(x_0) \frac{1}{24} h^4, \end{array} \end{equation}
yang dengan cara yang mirip untuk $-h$ akan diperoleh
\begin{equation}\label{eqn:taylor-series-min-h} \begin{array}{c} f(x_0 - h) = f(x_0) - f’(x_0) h \newline + f{'’}(x_0) \tfrac12 h^2 - f{''’}(x_0) \tfrac16 h^3 \newline + f^{iv}(x_0) \frac{1}{24} h^4. \end{array} \end{equation}
Dengan mengurangi Persamaan \eqref{eqn:taylor-series-pos-h} dengan Persamaan \eqref{eqn:taylor-series-min-h} akan diperoleh
\[\begin{array}{rcl} f(x_0 + h) - f(x_0 - h) & = & 2h f'(x_0) + f{'''}(x_0) \tfrac13 h^3 \newline \displaystyle \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{2h} & = & f'(x_0) + \tfrac16 h^2 f{'''}(x_0) \end{array}\]yang akan menghasilkan
\begin{equation}\label{eqn:finite-difference-app-1st-derivative-x0} \begin{array}{c} \displaystyle f’(x_0) = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{2h} + O(h^2) \end{array} \end{equation}
dengan $O(h^2) = \frac16 h^2 f{'’’}(x_0)$ merupakan kesalahan akibat pemotongan suku deret Taylor, yang sebanding dengan $h^2$. Agar lebih umum biasanya $x \equiv x_0$ karena berlaku untuk setiap $x$ sehingga diperoleh
\begin{equation}\label{eqn:finite-difference-app-1st-derivative} \begin{array}{c} \displaystyle f’(x) = \frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h} + O(h^2) \end{array} \end{equation}
yang merupakan rumusan beda hingga tengah untuk turunan pertama.
Dengan menjumlahkan Persamaan \eqref{eqn:taylor-series-pos-h} dengan Persamaan \eqref{eqn:taylor-series-min-h} akan diperoleh
\[\begin{array}{rcl} f(x_0 + h) + f(x_0 - h) & = & 2 f(x_0) + h^2 f''(x_0) + f^{iv}(x_0) \frac{1}{12} h^4 \newline f(x_0 + h) - 2 f(x_0) + f(x_0 - h) & = & h^2 f''(x_0) + f^{iv}(x_0) \frac{1}{12} h^4 \newline \displaystyle \frac{f(x_0 + h) - 2 f(x_0) + f(x_0 - h)}{h^2} & = & f''(x_0) + \frac{1}{12} h^2 f^{iv}(x_0) \end{array}\]dan, dengan terlebih dahulu mengganti $x_0$ dengan $x$ agar lebih umum, selanjutnya akan memberikan
\begin{equation}\label{eqn:finite-difference-app-2nd-derivative} \begin{array}{c} \displaystyle f{'’}(x) = \frac{f(x + h) - 2f(x) + f(x - h)}{h^2} + O(h^2), \end{array} \end{equation}
yang merupakan rumusan beda hingga tengah untuk turunan kedua, dengan $O(h^2) = \frac{1}{12} h^2 f^{iv}(x_0)$ merupakan kesalahan akibat pemotongan suku deret Taylor, yang sebanding dengan $h^2$.
Notasi dengan fungsi dengan argumennya $f(x + h)$, $f(x)$, dan $f(x - h)$ akan lebih kompak dituliskan menggunakan indeks, selain karena memang nilainya diskrit, akan tetapi juga karena kelak akan menggunakan komputer untuk menyelesaikannya. Dengan demikian dapat Persamaan \eqref{eqn:finite-difference-app-1st-derivative} dan \eqref{eqn:finite-difference-app-2nd-derivative} dapat dituliskan kembali menjadi
\begin{equation}\label{eqn:fda-1st-derivative} f’(x) \equiv f_i’ = \frac{f_{i+1} - f_{i-1}}{2h} \end{equation}
dan
\begin{equation}\label{eqn:fda-2nd-derivative} f''(x) \equiv f_i'' = \frac{f_{i+1} - 2 f_i + f_{i-1}}{h^2}, \end{equation}
yang mengubah semua turunan, baik turunan pertama maupun turunan kedua, dengan fungsinya sehingga dihasillkan persamaan-persamaan aljabar.
Persamaan diferensial yang akan dipecahkan umumnya menghubungkan antara $f_i$, $f_i’$, dan $f_i’’$ serta turunan-turunan lainnya, yang kemudian akan dihubungan dengan titik-titik di sekitarnya melalui Persamaan \eqref{eqn:fda-1st-derivative} dan \eqref{eqn:fda-2nd-derivative}. Mengingat yang diselesaikan adalah suatu persamaan diferensial, dibutuhkan pula konstanta integrasi yang disebut sebagai syarat batas (boundary condition, BC). Terdapat lima jenis syarat batas [3].
— Sparisoma Viridi (@6unpnp) March 15, 2022