Medan listrik oleh banyak muatan titik pada suatu titik amat merupakan penjumlahan secara vektor medan listrik oleh setiap muatan di titik tersebut [1], yang untuk sistem dua muatan titik amat dapat berada segaris dengan kedua muatan ataupun di luar garis yang menghubungkan kedua muatan [2]. Dengan menggunakan simulasi interaktif PhET total medan listrik pada suatu titik amat akibat banyak muatan dapat dengan mudah diilustrasikan [3].
Suatu titik muatan $q_i$ terletak pada posisi $\vec{r}_i$ akan memberikan medan listrik $\vec{E}_i$ pada posisi $\vec{r}$ dalam bentuk
\begin{equation}\label{eqn:electric-field-point-charge} \vec{E}_i = k \frac{q_i}{|\vec{r} - \vec{r}_i|^3} \ (\vec{r} - \vec{r}_i), \end{equation}
dengan $k = 8.987551787 \times 10^9 \ {\rm N \cdot m^2 / C^2}$ adalah konstanta Coulomb yang sering dipermudah untuk diingat dengan $k \approx 9 \times 10^9 \ {\rm N \cdot m^2 / C^2}$ [4].
Dengan menggunakan simulasi PhET yang disediakan [3], medan listrik oleh tiga muatan titik berharga positif $\pm1 \ {\rm nC}$ dapat digambarkan sebagai berikut ini. Grid kotak besar berukuran $50 \ {\rm cm}$ sementara kotak kecilnya $10 \ {\rm cm}$.
Gambar 1. Medan listrik oleh muatan positif: satu muatan berjarak $200\sqrt{2} \ {\rm cm}$ (kiri atas), satu muatan berjarak $200 \ {\rm cm}$ (kanan atas), dua muatan yang masing-masing berjarak $200\sqrt{2} \ {\rm cm}$ dan $200 \ {\rm cm}$ (kiri bawah), dan tiga muatan (kanan bawah).
Gambar 2. Medan listrik oleh muatan negatif: satu muatan berjarak $200\sqrt{2} \ {\rm cm}$ (kiri atas), satu muatan berjarak $200 \ {\rm cm}$ (kanan atas), dua muatan yang masing-masing berjarak $200\sqrt{2} \ {\rm cm}$ dan $200 \ {\rm cm}$ (kiri bawah), dan tiga muatan (kanan bawah).
Terlihat pada Gambar 1 dan 2 bahwa untuk tiga buah muatan yang bertanda sama dan terletak pada titik-titik bujur sangkar dan titik amat terdapat pada titik terakhir yang tersisa, medan listriknya memiliki besar yang sama akan tetapi dengan tanda yang berbeda.
Gambar 3. Medan listrik oleh muatan negatif dan positif: satu muatan negatif berjarak tertentu (kiri atas), satu muatan negatif berjarak tertentu dan satu muatan positif berjarak $200 \ {\rm cm}$ (kanan atas), satu muatan positif berjarak $200 \ {\rm cm}$ (kiri bawah), dan tiga muatan dengan jarak muatan positif dan negatif seperti sebelumnya (kanan bawah).
Dengan tiga muatan, dua muatan positif dan satu muatan negatif, pada titik amat dapat diperoleh medan listrik total yang bernilai nol. Ilustrasi sistem yang dimaksud diberikan pada Gambar 3.
Sistem-sistem yang telah diilustrasikan seperti pada Gambar 1, 2, dan 3 akan dibahas secara kuantitatif melalui perhitungan. Titik amat terdapat pada pojok kanan bawah suatu bujur sangkar. Muatan pertama $q_1$ berada di sebelah atas titik amat dan terletak pada titik sudut kanan atas bujur sangkar, muatan kedua $q_2$ di berada sepanjang diagonal bujur sangkar yang menuju titik amat, dan muatan ketiga $q_3$ berada di sebelah kanan titik amat dan terletak pada titik sudut kiri bawah bujur sangkar. Titik-titik sudut bujur sangkar diberi nama $\rm A$, $\rm B$, $\rm C$, dan $\rm D$ mulai dari titik kanan atas bujur sangkar dan berputar berlawanan arah dengan arah putar jarum jam, seperti diberikan pada gambar berikut.
Gambar 4. (a) Bujur sangkar $\rm ABCD$ dengan sisi $l$, (b) muatan $q_1$ dan medan listrik $\vec{E}_1$ yang disebabkannya pada titik amat $\rm D$, (c) muatan $q_3$ dan medan listrik $\vec{E}_3$ yang disebabkannya pada titik amat $\rm D$, dan (d) muatan $q_2$ dan medan listrik $\vec{E}_2$ yang disebabkannya pada titik amat $\rm D$.
Muatan pada Gambar 4 belum bertanda karena ingin diperoleh perumusan yang umum sehingga dapat mengakomodasi baik muatan positif dan muatan negatif. Juga untuk jarak $q_2$ dari titik amat $\rm D$ yang masih bersifat umum, sehingga untuk $q_2$ terletak pada titik $\rm B$ diperlukan $h = l\sqrt{2}$.
Dengan menggunakan sistem koordinat pada Gambar 4(a) dapat diperoleh tabel berikut ini.
Tabel 1. Keempat titik bujur sangkar $\rm ABCD$ dan peruntukannya.
| Titik | $x$ | $y$ | Peruntukkan |
|---|---|---|---|
| $\rm A$ | $l$ | $l$ | $q_1$ |
| $\rm B$ | $0$ | $l$ | $-$, $q_2$ |
| $\rm C$ | $0$ | $0$ | $q_3$ |
| $\rm D$ | $l$ | $0$ | Titik amat |
Perhatikan bahwa titik $B$ belum tentu untuk muatan $q_2$ karena bisa saja $q_2$ hanya terdapat pada diagonal yang $\rm BD$ dan belum mencapai titik $\rm B$.
Tabel 2. Ketiga muatan dan posisinya.
| Muatan | $x$ | $y$ |
|---|---|---|
| $q_1$ | $l$ | $l$ |
| $q_2$ | $l - \frac12\sqrt{2}h$ | $\frac12\sqrt{2}h$ |
| $q_3$ | $0$ | $0$ |
Perhatikan bahwa saat $h = \sqrt2l$ posisi muatan $q_2$ akan berada padaa titik $\rm B$.
Dengan menggunakan informasi dari Tabel 1 dan 2 dapat diperoleh
\begin{equation}\label{eqn:q1-relative-position} \begin{array}{rcl} \vec{r} - \vec{r}_1 & = & (l\hat{x} + 0\hat{y}) - (l\hat{x} + l\hat{y}) \newline & = & -l\hat{y}, \newline |\vec{r} - \vec{r}_1| & = & l, \end{array} \end{equation}
sehingga akan diperoleh
\begin{equation}\label{eqn:q1-electric-field} \begin{array}{rcl} \vec{E}_1 & = & \displaystyle k \frac{q_1}{|\vec{r} - \vec{r}_1|^3} \ (\vec{r} - \vec{r}_1) \newline & = & \displaystyle k \frac{q_1}{l^3} \ (-l\hat{y}) \newline & = & \displaystyle k \frac{q_1}{l^2} \ (-\hat{y}) \end{array} \end{equation}
saat menerapkan Persamaan \eqref{eqn:electric-field-point-charge}.
Dengan menggunakan informasi dari Tabel 1 dan 2 dapat diperoleh
\begin{equation}\label{eqn:q3-relative-position} \begin{array}{rcl} \vec{r} - \vec{r}_3 & = & (l\hat{x} + 0\hat{y}) - (0\hat{x} + 0\hat{y}) \newline & = & l\hat{x}, \newline |\vec{r} - \vec{r}_3| & = & l, \end{array} \end{equation}
sehingga akan diperoleh
\begin{equation}\label{eqn:q3-electric-field} \begin{array}{rcl} \vec{E}_3 & = & \displaystyle k \frac{q_3}{|\vec{r} - \vec{r}_3|^3} \ (\vec{r} - \vec{r}_3) \newline & = & \displaystyle k \frac{q_3}{l^3} \ (l\hat{x}) \newline & = & \displaystyle k \frac{q_3}{l^2} \ (\hat{x}) \end{array} \end{equation}
saat menerapkan Persamaan \eqref{eqn:electric-field-point-charge}.
Dengan menggunakan informasi dari Tabel 1 dan 2 dapat diperoleh
\begin{equation}\label{eqn:q2-relative-position} \begin{array}{rcl} \vec{r} - \vec{r}_2 & = & (l\hat{x} + 0\hat{y}) - [(l - \frac12\sqrt{2}h) \hat{x} + \frac12\sqrt{2}h\hat{y}] \newline & = & \frac12\sqrt{2}h\hat{x} - \frac12\sqrt{2}h\hat{y}, \newline |\vec{r} - \vec{r}_2| & = & h, \end{array} \end{equation}
sehingga akan diperoleh
\begin{equation}\label{eqn:q2-electric-field} \begin{array}{rcl} \vec{E}_2 & = & \displaystyle k \frac{q_2}{|\vec{r} - \vec{r}_2|^3} \ (\vec{r} - \vec{r}_2) \newline & = & \displaystyle k \frac{q_2}{h^3} \ (\tfrac12\sqrt{2}h\hat{x} - \tfrac12\sqrt{2}h\hat{y}) \newline & = & \displaystyle k \frac{q_2}{h^2} \ (\tfrac12\sqrt{2}\hat{x} - \tfrac12\sqrt{2}\hat{y}) \end{array} \end{equation}
saat menerapkan Persamaan \eqref{eqn:electric-field-point-charge}.
Untuk mencari medan listrik akibat muatan $q_1$ dan $q_2$ di titik amat $\rm D$ dilakukan penjumlahan vektor untuk medan listrik $\vec{E}_1$ dari Persamaan \eqref{eqn:q1-electric-field} dan medan listrik $\vec{E}_2$ dari Persamaan \eqref{eqn:q2-electric-field} sehingga dapat diperoleh
\begin{equation}\label{electric-field-e1-e2} \begin{array}{rcl} \vec{E}_{1+2} & = & \vec{E}_1 + \vec{E}_2 \newline & = & \displaystyle k \frac{q_1}{l^2} \ (-\hat{y}) + k \frac{q_2}{h^2} \ (\tfrac12\sqrt{2}\hat{x} - \tfrac12\sqrt{2}\hat{y}) \newline & = & \displaystyle k \left( \frac{q_2}{h^2} \ \tfrac12\sqrt{2} \right) \hat{x} + k \left( - \frac{q_1}{l^2} - \frac{q_2}{h^2} \ \tfrac12\sqrt{2} \right) \hat{y} \end{array} \end{equation}
yang merupakan hasilnya.
Untuk mencari medan listrik akibat muatan $q_2$ dan $q_3$ di titik amat $\rm D$ dilakukan penjumlahan vektor untuk medan listrik $\vec{E}_2$ dari Persamaan \eqref{eqn:q2-electric-field} dan medan listrik $\vec{E}_3$ dari Persamaan \eqref{eqn:q3-electric-field} sehingga dapat diperoleh
\begin{equation}\label{electric-field-e2-e3} \begin{array}{rcl} \vec{E}_{2+3} & = & \vec{E}_2 + \vec{E}_3 \newline & = & \displaystyle k \frac{q_2}{h^2} \ (\tfrac12\sqrt{2}\hat{x} - \tfrac12\sqrt{2}\hat{y}) + k \frac{q_3}{l^2} \ (\hat{x}) \newline & = & \displaystyle k \left( \frac{q_2}{h^2} \ \tfrac12\sqrt{2} + \frac{q_3}{l^2} \right) \hat{x} + k \left( - \frac{q_2}{h^2} \ \tfrac12\sqrt{2} \right) \hat{y} \end{array} \end{equation}
yang merupakan hasilnya.
Untuk mencari medan listrik akibat muatan $q_1$ dan $q_3$ di titik amat $\rm D$ dilakukan penjumlahan vektor untuk medan listrik $\vec{E}_1$ dari Persamaan \eqref{eqn:q1-electric-field} dan medan listrik $\vec{E}_3$ dari Persamaan \eqref{eqn:q3-electric-field} sehingga dapat diperoleh
\begin{equation}\label{electric-field-e1-e3} \begin{array}{rcl} \vec{E}_{1+3} & = & \vec{E}_1 + \vec{E}_3 \newline & = & \displaystyle k \frac{q_1}{l^2} \ (-\hat{y}) + k \frac{q_3}{l^2} \ (\hat{x}) \newline & = & \displaystyle k \left( -\frac{q_1}{l^2} \right) \hat{y} + k \left( \frac{q_3}{l^2} \right) \hat{x} \end{array} \end{equation}
yang merupakan hasilnya.
Untuk mencari medan listrik akibat muatan $q_1$, $q_2$, dan $q_3$ di titik amat $\rm D$ dilakukan penjumlahan vektor untuk medan listrik $\vec{E}_1$ dari Persamaan \eqref{eqn:q1-electric-field}, medan listrik $\vec{E}_2$ dari Persamaan \eqref{eqn:q2-electric-field} dan medan listrik $\vec{E}_3$ dari Persamaan \eqref{eqn:q3-electric-field} sehingga dapat diperoleh
\begin{equation}\label{electric-field-e1-e2-e3} \begin{array}{rcl} \vec{E}_{1+2+3} & = & \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3 \newline & = & \displaystyle k \frac{q_1}{l^2} \ (-\hat{y}) + k \frac{q_2}{h^2} \ (\tfrac12\sqrt{2}\hat{x} - \tfrac12\sqrt{2}\hat{y}) + k \frac{q_3}{l^2} \ (\hat{x}) \newline & = & \displaystyle k \left( \frac{q_2}{h^2} \ \tfrac12\sqrt{2} + \frac{q_3}{l^2} \right) \hat{x} + k \left( -\frac{q_1}{l^2} - \frac{q_2}{h^2} \ \tfrac12\sqrt{2} \right) \hat{y} \end{array} \end{equation}
yang merupakan hasilnya.
— Sparisoma Viridi (@6unpnp) January 14, 2022
electric charge • electrostatic force • electric field •electric potential